流域管理研究室の学生さんに贈る

このくらいは知っててください --- 数学編

農林工学系 奈佐原(西田)顕郎

趣旨: 流域保全学では、水・土砂の移動や森林の動態を物理モデルや地理データを用いて数値的に解析することが多い。そこで数学の基礎的な知識が必要になる。無論、学生諸君は既に高校などで一定の物理・数学を受け、入試や実験などでも数学を既に使った経験があるだろう。しかし、研究・実務においては、現象をいかに正確かつ効率的に扱うかという数学的視点が必要になってくる。
 そのような数学の代表的なものとして、

があげられる。これらは学類4年生になる前に習得しておいてほしいが、せめて、大学院に進学する前には必ず習得しておくこと。

    微積分

  1. 微分の定義
  2. 実数と複素数
  3. 多項式と級数
  4. テーラー展開
  5. 三角関数
  6. 指数関数
  7. 対数関数、対数方眼紙
  8. 不定積分:三角関数、指数関数、対数関数
  9. 定積分
  10. オイラーの公式
  11. 常微分方程式

  12. dy/dx = k yの解
  13. ロジスティック方程式
  14. ニュートン方程式と二階の常微分方程式
  15. 線形応答系の微分方程式とインピーダンス、共鳴
  16. 統計学

  17. 平均、分散、標準偏差
  18. 分散の加法性と大数の法則
  19. 正規分布
  20. 中心極限定理
  21. t分布と平均値の誤差
  22. 共分散と相関係数
  23. 回帰分析
  24. 分散共分散行列と主成分分析
  25. 線形代数

  26. 線形空間とベクトル
  27. 正規直交基底
  28. 内積
  29. 外積
  30. 行列、トレース、行列式
  31. 固有値、固有ベクトル
  32. 対称行列
  33. ベクトル解析と偏微分方程式

  34. スカラー場、ベクトル場
  35. フラックス
  36. 勾配と全微分
  37. 発散と保存則
  38. フィックの法則
  39. ナブラ演算子
  40. 拡散方程式
  41. ラプラス方程式、調和関数
  42. ナビエ・ストークス方程式
  43. 波動方程式
  44. 数値解析

  45. 差分と離散化
  46. ニュートン法による求根
  47. 数値積分:台形則
  48. オイラー法による常微分方程式の解
  49. 陽解放による拡散方程式の解
  50. 掃き出し法による連立一次方程式の解